Решение задач на переливание на бильярдном столе — страница 2

  • Просмотров 293
  • Скачиваний 7
  • Размер файла 156
    Кб

периодической траектории, скажем, за единицу)? Оказывается, это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики. Многие результаты являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г.

Синаем и его школой. В первом разделе данной работы описана математическая модель бильярда. Во втором разделе описаны виды траекторий бильярного шара. В третьем разделе описаны задачи на «переливание» и их решение с помощью математической модели бильярда. 1. Математическая модель бильярда Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно

упруго отражаясь от бортов. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Математическая проблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ на этот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q),— и называется математическим бильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки q () и

начальным вектором ее скорости . Пренебрежение трением означает, что абсолютную величину скорости при движении точки мы считаем неизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени t=0 вектор можно считать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направление вектора (t), т. е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону абсолютно упругого отражения: после

удара шара (точки q(t)) о борт Г в точке P шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт Г в окрестности точки P криволинейный, то углы падения и отражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке P. Таким образом, траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному

звену. 2. Траектории движения Траектория с «начальным условием» будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период), точка возвращается в свое начальное положение q с первоначальной скоростью . Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» — такими мы привыкли представлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника. Рассматриваемая проблема в отношении