Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта — страница 2

  • Просмотров 3146
  • Скачиваний 382
  • Размер файла 436
    Кб

метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования . Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей

вспомогательной научно-технической задачей . Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка : (1.1) тогда как : А = (1.2) где А заданная матрица размером N x N . - вектор с N координатами ,

который подлежит определению ; N – произвольное целое число ; -         заданные вектора правых частей с N координатами . С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных

промежутках .. 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 2.1. Метод прогноза и коррекции Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами . Рассмотрим задачу Коши : , (2.1.1) Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим : (2.1.2) где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что -

приближения к решению в точках . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) , ( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу : (2.1.3) В

простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера : (2.1.4) Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки (xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е. (2.1.5) интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод : (2.1.6) который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если N=2 , то P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий