Решение обратной задачи вихретокового контроля — страница 6

тока в возбуждающей катушке. Применяя теорему взаимности импеданс можно представить через возбуждающее поле: ( 2.4.4) где интеграл берется по объему ОК. В. Обратная задача Пусть v(r) - оценка истинной функции vtrue(r), Zobs(m) - измеренный импеданс ВТП в точке r0 на частоте возбуждения w , m=(r0 ,w) - вектор в некоторой области определения M , Z[m,v] - оценка величины Zobs(m) на основе решения прямой задачи. Определим функционал невязки измеренных и

рассчитанных значений импеданса ВТП как : ( 2.4.5) Предположим, что для решения обратной задачи используется итерационный алгоритм типа метода спуска: vn(r)= vn-1(r)+a sn(r). Можно показать, что в случае метода наискорейшего спуска итерация имеет вид: vn(r)= vn-1(r)-a×ÑF[ vn-1(r) ], где градиент функционала ÑF[v] можно определить как : ( 2.4.6) где Re обозначает вещественную часть, * обозначает комплексную сопряженность. Требуемый в (2.4.6) градиент

импеданса можно определить как: ÑZ(r) = -s0×E(r)×E*(r) ( 2.4.7) где E*(r) - решение уравнения ( 2.4.8) С. Аппроксимация при решении обратной задачи Пусть электропроводность моделируется с помощью конечного числа переменных (например узловых значений некоторой аппроксимации), а вектор р состоит из этих переменных. Тогда выражение (2.4.7) принимает вид: ( 2.4.9) где (ÑZ)j - j-ая компонента градиента импеданса. Значение j-ой компоненты градиента

невязки (2.4.6) можно представить как: ( 2.4.10) Следует обратить внимание на то, что в случае дискретного пространства М (конечное число измерений) интеграл в (2.4.10) заменяется суммой. С учетом приведенных преобразований итерация метода наискорейшего спуска принимает вид: pjn = pjn-1 - a×(ÑFn-1)j ( 2.4.11) где n - номер итерации. D. Пример применения В качестве примера рассмотрим функцию v(r) в виде v(r)=Sci×fi(r), i=1,N , где fi(r) - множество линейно

независимых базовых функций с коэффициентами ci. Рассматривая коэффициенты ci в роли параметров аппроксимации (ci=pi ) получим из (2.4.9) для компонентов градиента импеданса: ( 2.4.12) В случае проводящего ОК, состоящего из N параллельных слоев с проводимостью sj распределение электропроводности по глубине можно представить с помощью функций Хевисайда H(z) как s(z)=S sj×[ H( z-zj ) - H( z-zj+1 ) ]. Подставляя в (2.4.12) базовые функции вида fi(z)=[H( z-zj )-H( z-zj+1 )],

получим окончательное выражение: ( 2.4.13) Отметим основное преимущество такого решения. Несмотря на определенную сложность вычислений при решении интегральных уравнений (2.4.2-2.4.8) для расчета градиента импеданса НВТП необходимо решить только две такие задачи. 2.4.2 Отечественные методы решения Подход, в значительной мере аналогичный работам [45-51] был предложен в работе [41]. Из-за небольшого объема в ней уделено недостсточное