Решение обратной задачи вихретокового контроля — страница 10

полубесконечного слоя, для воздуха ( m = 1 , e = 1 , s = 0 ) j1 = 0 При анализе годографов для удобства используют нормированные зависимости. Для НВТП нормировку производят по модулю максимального вносимого напряжения, которое соответствует идеально проводящему ОК и вычисляется при jм = -1: (3.23) Такая нормировка обобщает полученные результаты, расширяет область их применения и делает их однозначными. Отметим, что для получения часто

используемого в ВТК значения импеданса НВТП достаточно разделить правую часть (3.18) на величину тока возбуждения I. 4. Обратная задача ВТК для НВТП Решение обратной задачи ВТК состоит в нахождении зависимости s(h) распределения электропроводности по глубине пластины используя набор из N измеренных с помощью НВТП вносимых напряжений. Математически обратную задачу можно представить интегральным уравнением (4.1) Поскольку явного

метода решения уравнения (4.1) не существует, применим к нему метод квазирешения (п5.3.2). В постановке для локального в смысле Чебышева критерия получим корректную задачу минимизации функционала невязки: , i=1,N (4.2) Учет априорной информации в обратной задачи ВТК удобно проводить в виде интервала [ smin , smax ], которому могут принадлежать значения электропроводности. В этом случае можно рассматривать задачу (4.2) как задачу нелинейного

программирования вида: (4.3) Заметим, что поскольку ограничения в задаче (4.3) являются линейными, разумным представляется применение метода условного градиента (п6.2.1). Рассмотрим процесс решения системы (4.3) в предположении, что электропроводность аппроксимируется по узловым значениям sj , j=1,M. (4.4) Линеаризуем функционал Ф в окрестности исследуемой точки s0 разложив его в ряд Тейлора с использованием только первых производных. (4.5)

Пусть y = maxФi’ = Фp’ ³ 0. В этом случае мы можем свести задачу (4.4) к эквивалентной задаче линейного программирования, состоящей в условной минимизации функции y. Рассмотрим процесс приведения задачи линейного программирования к каноническому виду. Раскрывая модуль в (4.5) получаем систему уравнений (4.6) Рассмотрим выражение под модулем в (4.5) и введем некоторые обозначения (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) С учетом системы (4.8 - 4.10) постановка задачи (4.4)

принимает вид (4.11) Раскрывая скобки в (4.11) и исключая y из первых 2N неравенств кроме р-го получаем систему неравенств (4.12) Приведем систему неравенств (4.12) к каноническому виду (6.1). Для этого, в соответствии со стандартным подходом, запишем все неравенства в виде равенств, добавляя в левые части неравенств неотрицательные переменные v. (4.13) В матричном виде полученная система имеет вид Ax = b (4.14), где искомый вектор-столбец из 2(N+M)+1