Решение инженерных задач на ЭВМ — страница 10

  • Просмотров 32825
  • Скачиваний 1027
  • Размер файла 3594
    Кб

методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности у(х), причем у(х) выражается через элементарные функции. § 2. Абсолютная и относительная погрешность. Приближённым числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях. Если а<А, то говорят, что число а является приближённым значением числа А по недостатку; если а>А приближённым значением по избытку.

Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а » А. Под ошибкой или погрешностью Dа приближенного числа обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е. Dа = А – а. Если а<А, то А-а>0; если а>А, то А-а<0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку Dа, т.е. А = а + Dа. Как правило, знак ошибки вычислителя не интересует, поэтому пользуются абсолютной

ошибкой, или абсолютной погрешностью приближенного числа. D = |Dа| Абсолютной погрешностью D приближённого числа а называется абсолютная величина разности между точным числом А и его приближённым значением а: D = |А -а| (1) Здесь возможны два случая: 1. Точное число А нам известно. Тогда абсолютная погрешность приближённого числа легко находится по формуле (1). 2. число А нам не известно, что практически бывает чаще всего, и,

следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность ∆а по формуле (1). В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если ∆а- предельная абсолютная

погрешность приближенного числа а, заменяющего числа А, то ≤ ∆а (2) Отсюда следует, что точное число А заключено в границах а-∆а ≤ А ≤ а + ∆а (3) Следовательно, а - ∆а есть приближение числа А по недостатку, а + ∆а - приближение числа А по избытку. В этом случае для краткости пользуются записью А = а ± ∆а Пример 1. Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3,14, заменяющего число p. Решение. Так как имеет

место неравенство 3.14 < p < 3.15, то | а- p | < 0.01 и, следовательно, можно принять ∆а = 0,01. Если учесть, что 3.14< p <3.142, то будем иметь лучшую оценку: ∆а = 0.002. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел ∆а, удовлетворяющих, неравенству (2). В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его