Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 9

  • Просмотров 3449
  • Скачиваний 503
  • Размер файла 98
    Кб

получить прямую геометрическую аналогию, если будем считать b = 0 (это требует, чтобы W = W ). Тогда коэффициенты a действительны. Частные значения коэффициентов a ¾ коэффициенты с ¾ также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать, полагая c = , c = : (69.18) (индекс k мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы (69.19) то средним значением энергии возмущения в состоянии (69.18) будет (69.20) Согласно (69.6) получим (69.21) Это уравнение можно

рассматривать как уравнений кривой второго порядка на плоскости ( , ). Таким образом, среднее значение W есть квадратичная форма от амплитуд ( , ), представляющих состояние . Введем теперь вместо системы координат новые координаты , отличающиеся от первых поворотом на угол q (69.22) Подставляя в (69.18), получим: (69.23) Относительно функций j и j матрица W должна быть диагональной. Действительно (69.24) Поэтому среднее значение в состоянии

представится теперь в ином виде: (69.25) т.е. в новых переменных , средняя энергия является кривой второго порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52). Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям). В более общем случае и комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется,

если и и в этом случае рассматривать как координаты точки. Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (n=2) (первый уровень не вырожден и потому

не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай. Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями: (73.1) Согласно (25.16) (73.2) Далее, из (50.1) получаем радиальные функции: R (73.3) где a ¾ радиус орбиты Бора, а и ¾ нормирующие множители. Пользуясь тем, что, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cosq, мы можем написать функции (73.1) в виде (73.4) Наиболее общим состоянием,

принадлежащим уровню E , будет (73.5) Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии внешнего электрического поля согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (68.10), которые в нашем случае имеют вид (73.6) (73.7) Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно, (73.8) в силу нечетности подыинтегральной функции относительно z, равны нулю. Интеграл же (73.8)