Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 8

установленным другим путем. В #41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы

сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)). Расщепление уровней в случае двукратного вырождения Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению E оператора H принадлежат две функции (f = 2): j и j . Любые две функции j и j, получающиеся из j и j и путем

ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора H , принадлежащими уровню E . Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1)) (69.1) (69.1') Чтобы удовлетворить условию ортогональности (68.2), положим (69.2) причем q и b здесь два произвольных угла. Таким образом, (69.3) представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню E . Ортогональность и

нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, коэффициенты a (69.2) удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При b = q = 0 из (69.3) получаются исходные функции j и j . Пусть теперь наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущенной системы, т.е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов b и q будут

зависеть от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты c и c в суперпозиции (69.4) Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном случае имеет вид (69.5) где W , W , W , W ¾ матричные элементы энергии возмущения: (69.6) (69.6') (69.6'') Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид (69.7) где e ¾ поправка в энергии k-го уровня: (69.8) Раскрывая определитель

(69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня (69.9) Из уравнений (69.5) находим (69.10) Полагая (69.11) и подставляя в (69.10) первый корень (e , знак +), получим (69.12) а для второго корня (e , знак ¾). (69.12') Таким образом, получаются следующие решения (в "х"-представлении): (69.13) и (69.13') причем (69.14) (69.15) Весьма важным является частный случай, когда (69.16) Для этого случая имеем (69.17) (69.17') Преобразование (69.3) есть поворот. Мы можем