Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 6

  • Просмотров 3438
  • Скачиваний 503
  • Размер файла 98
    Кб

из (66.7) увеличением числа квантовых чисел, нумерующих состояния. E есть энергия m-го квантового уровня для невозмущенной задачи. Эта энергия от квантового числа a не зависит (вырождение). Допустим, что мы теперь желаем найти квантовый уровень возмущенной системы E , близкий к E , и соответствующие собственный функции j (x). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций. В

отсутствии вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении c = 1, а остальные равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближении возмущение W, мы получим из (68.5) это дает c = 0 для E = E , но при это не одно c , а все принадлежащие собственному значению E , именно, c для b = 1, 2, …, . Таким образом, в нулевом

приближении не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым приближением для функций k-го уровня будет (68.7) В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат не равные нулю c . Это будут уравнения (68.8) Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к k-му уровню, мы можем опустить индекс k (держа его просто в уме), положив при этом (68.9) (68.9') Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде (68.10) У E мы

сохранили индекс k, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из f состояния, принадлежащих уровню E . Для того чтобы уравнения (68.10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обращался в нуль, т.е. Это ¾ алгебраическое уравнение степени f для определения Е. Часто оно называется вековым[2] уравнением. Из него мы получим f корней: (68.12) Так как матричные элементы W предполагаются малыми, то эти

корни будут близки между собой. Следовательно, мы получает важный результат: при наложении возмущения вырожденный уровень (E ) распадается на ряд близких уровней (68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью. Для каждого из корней E (68.12) мы получим свое решение для амплитуд c из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение c , c , …, c . …, c принадлежит уровню E , мы введем в c еще один

индекс a так, что решение уравнений (68.10) для E запишется в виде (68.13) Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для c была бы c . Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Н в "Е° "-представлении. В "х"-представлении решение (68.13) запишется в виде (68.13') Таким образом, каждому уровню E = E принадлежит теперь своя функция j , которая и является функцией нулевого приближения для