Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 4

  • Просмотров 3432
  • Скачиваний 503
  • Размер файла 98
    Кб

оператора Н . Условия (67.12) ¾ это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде (67.13) где W суть матричные элементы оператора возмущения. Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении: (67.14) (67.15) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном

состоянии (j ). Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой При малых n эта величина может быть гораздо больше W . Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n , и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому

метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам. Второе, что следует отметить, ¾ это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем H и H радикально отличаются. Дело в том,

что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = lx . Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид (67.16) При l=0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = (n + ). Матричные элементы возмущения W = l (x ) при малом l могут быть как угодно малы в

сравнении с E ¾ E = (m ¾ n). Тем не менее при всяком l уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при l=0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная энергия U(x) = + lx имеет вид, приведенный на рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных x, U(x) < E, т.е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным. Спрашивается,

какой смысл имеют в этом случае приближенные функции j (x) и уровни Е , которые мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра l? Оказывается, что при малых l найденные методом теории возмущения функции j (х) отличаются тем, что они велики вблизи потенциальной ямы U (x) и малы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U (x) (см. рис. 1) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции j (x)