Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 3

  • Просмотров 3244
  • Скачиваний 502
  • Размер файла 98
    Кб

собственные значения Е в виде рядов по степеням малого параметра l: (66.14) и (66.15) При l=0 (66.14) и (66.15) переходит в (66.13), причем Е должно равняться Е . Оказывается, что решение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояния системы Н или нет. Если они вырождены, то каждому собственному значению Е принадлежит несколько собственных функций j , если не вырождены, ¾ то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим

порознь. Возмущение в отсутствие вырождения Пусть каждому собственному значению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция j , соответственно ¾ одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра l (67.1) Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом последовательных приближений. Мы получим нулевое приближения,

если положим l=0; тогда получаем m = 1,2,3,…, k, … (67.2) Это ¾ уравнение для невозмущенной системы Н . Пусть нас интересует, как меняется уровень Е и собственная функция j под действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-е: (67.3) т.е. все с =0, кроме с =1. Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает (67.4) где

через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми и отбросить их. Тогда получаем (67.4') Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m = k, то получим (67.4'') Отсюда находим поправку к Е первого приближения: (67.5) Из уравнений c m = k находим поправки к амплитудам c , именно, если m = k, то (67.4') дает (67.4''') Отсюда (67.6) Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть

члены с l . Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда (67.7) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом уравнение номера m = k получается в виде (67.7') Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении: (67.8) Из уравнений с m = k найдем c : (67.9) Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким

приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем (67.10) (67.11) Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения (67.12) при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и собственные значения Е оператора H и его собственные функции с (k) близки к собственным значениям и собственным функциям