Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле — страница 2

  • Просмотров 3242
  • Скачиваний 502
  • Размер файла 98
    Кб

известны, так что Н° j° = Е° j°. (66.2) Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера Нj = Еj. (66.3) Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2).одним членом Wj, который мы считаем малым. Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в таком представлении, в котором за основную

переменную берут собственные значения Е° оператора Н , т.е. уравнение (66.2) берут в "Е° "-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этого представления перейти к "Е° "-представлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число

переменных так же, как и под значком n у волновой функции j можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н° будут j° (х). Разложим искомую функцию j (х) по функциям j° (х): j (х) = Sс j° (х). (66.4) Тогда совокупность всех с есть не что иное, как функция j в "Е° "-представлении. Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на j° * (х) и интегрируя по х, получим S Н с = Ес ,

(66.5) где Н есть матричный элемент оператора Н в "Е° "-представлении: Н = Ij° * Hj° dx. (66.6) Матрица, образованная из элементов Н , есть оператор Н в "Е° "-представлении. Имея в виду (66.1) и (66.2), получаем H = Ij° * (H° + W) j° dx= = Ij° * H° j° dx + Ij° * W j° dx = E° d + W (66.6') где W есть матричный элемент энергии возмущения в "Е° "-представлении: (66.7) Матрица, образованная из элементов W , есть оператор W в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим

(66.8) Перенося все члены налево, находим (66.9) где n и m пробегают все значения, которыми нумеруются функции невозмущенной системы j . Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин W . Чтобы явно выразить степень малости W, положим (66.10) где l¾ малый параметр. При l=0 оператор Н переходит в Н . Тогда

уравнение (66.9) запишеится в виде (66.11) Это уравнение мы будет решать по степеням l, считая l малой величиной. При l=0 из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в "Е° "-представлении: (66.12) имеющее решение (66.13) При малых значениях l естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, если представим собственные функции с уравнения (66.11) и его