Работа “Моделирование кинетики роста в условиях химиотерапии" Дисциплина: “Моделирование в медицине" Работу — страница 4

  • Просмотров 167
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 161
    Кб

предполагается, что они распределены нормально N(0;y2). Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но среди всех несмещенных оценок. Если предположения (3 - 4) нарушены, то есть дисперсия возмущений непостоянна и/или значения є. связаны друг с другом, то свойства

несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности - нет. Рассмотрим теперь процедуру оценивания параметров парной линейной регрессии а и b. Для того, чтобы функция СКО (2.5) достигала минимума, необходимо равенство нулю ее частных производных: Откуда (2.12) 2.5 Расчёт коэффициентов МНК Степенную функцию, нелинейную по параметрам, нужно привести к линейному виду: Логарифмируем: Линеаризуем исходные данные: Из 2.13

и 2.14 находим: Следовательно, аппроксимирующая функция будет иметь вид: 2.6. Итерационный метод наискорейшего спуска. Рассмотрим метод наискорейшего спуска с шагом, длина которого зависит от свойств минимизируемой функции, или метод Ньютона. Он основан на квадратической аппроксимации минимизируемой функции в окрестности точки x(k), где (k) – номер итерации Минимум квадратической функции легко найти, приравнивая ее градиент нулю.

Можно сразу же вычислить положение экстремума и выбрать его в качестве следующего приближения к точке минимума. Новая итерация вычисляется по формуле: (2.16) Пусть f(x) - минимизируемая фукнция с векторным аргументом . Алгоритм наискорейшего спуска реализует итерационную процедуру движения к минимуму из произвольно выбранной точки начального приближения в направлении наиболее сильного уменьшения функции, определенном в

окрестности текущего значения аргумента минимизируемой функции. Такое направление противоположно направлению, задаваемому вектором градиента минимизируемой функции f(x): (2.17) Вычисляя точку нового приближения по формуле (2.16) и разлагая f(x(k+1)) в ряд Тейлора, получим формулу квадратической аппроксимации fкв(x(k+1)): , где (2.18) - матрица вторых производных: (2.19) Условие минимума fкв(x(k+1)) по . Вычислим градиент из (2.18): (2.20) Для учета

фактических особенностей минимизируемой функции будем использовать в (2.20) значения градиента и матрицы вторых производных, вычисленных не по аппроксимирующей fкв(x), а непосредственно по минимизируемой функции f(x). Заменяя fкв(x) в (2.20), найдем длину шага (2.21) Итак, последовательность вычислений для реализации алгоритма метода Ньютона: Произвольно задать точку начального приближения x(0) В цикле по номеру итерации k=0,1… вычислить: