Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 9

  • Просмотров 2572
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

основной матрице можно построить максимальную систему единичных столбцов. Кроме того, удалим из расширенной матрицы нулевые строки. Тогда можно считать, что расширенная матрица системы уравнений имеет вид: где в последней строке ведущий элемент обозначен через d. Для ненулевого числа d возможны два случая: (а) d находится до черты, т.е. лежит в основной матрице. Следовательно, в этом случае мы можем написать общее решение

совместной системы. Заметим, что все переменные будут связаны Û ранг основной матрицы равен числу переменных системы. (б) d находится после черты; тогда система несовместна и ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы на единицу. Тем самым, мы доказали теорему. Теорема. Пусть d - ведущий элемент последней строки приведенной ступенчатой матрицы. Тогда (а) система совместна Û d находится до черты; (б) система

несовместна Û d находится после черты; (в) система является определенной Û d находится до черты и все переменные связанные; (г) система является неопределенной Û d находится до черты и имеется хотя бы одна свободная переменная. 20. Критерии совместности и определенности. Из приведенной теоремы немедленно вытекают следующие два критерия. Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли). Система Ax = b линейных уравнений

является совместной Û ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A½b). Критерий определенности. Система Ax = b линейных уравнений от n переменных является определенной Û ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе, т.е. r(A) = r(A½b) = n. 30. Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней однородной системами линейных уравнений. Допустим, что

дана совместная система линейных уравнений: Ax = b. (1) Пусть z0, z1, z2 - частные решения системы (1), z - ее общее решение. Тогда справедливы равенства Az1t = b, Az2t = b. Вычитая почленно из первого второе, на основании известных свойств, получаем: 0 = Az1t - Az2t = A(z1t - z2t) = A(z1 - z2)t, т.е. разность между двумя частными решения системы (1) является решением связанной с ней однородной системы Ax = 0. (2) Если теперь x - общее решение системы (2), то имеем Ax t = 0,

следовательно, b = b + 0 = Az0t + Ax t = A(z0t +x t) = A(z0 +x )t, т.е. сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2) является решением системы (1). Таким образом, справедлива Теорема. Общее решение совместной неоднородной системы (1) является суммой частного решения системы (1) и общего решения системы (2). Поскольку общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы