Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 8

  • Просмотров 2570
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом. Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью; обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность. Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности. Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного

пространства содержат одинаковое число векторов. Доказательство. Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то “большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. ÿ Следствие. (а)

Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E). (б) Всякая система векторов n-мерного линейного пространства, содержащая более n элементов линейно зависима. 50. Примеры. 1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных векторов ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ( единица находится на месте с номером i), следовательно, dim kn = n. Можно доказать, что

система из n векторов-строк образует базис пространства kn Û определитель этой системы отличен от нуля. 2. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений. 3. Пространство матриц имеет стандартный базис из матричных единиц Eij (единица находится на месте с номером (i, j), следовательно, dim = nm. 4. Пространства многочленов Qn[x] с рациональными коэффициентами степени не

превосходящей n имеет следующие базисы: а) стандартный базис вида 1, x, x2, . . . , xn; б) базис Тейлора “в точке c”: 1, (x - c), (x - c)2, . . . , (x - c)n , где c - некоторое число; в) [базис Лагранжа “в точке (c1, . . . , cn+1)”: gi(x) = {(x - c1) . . . (x - ci)^ . . . (x - cn+1)}/ {(ci - c1) . . . (ci - ci)^ . . . (ci - cn+1)}, где c1, . . . , cn+1 - попарно различные скаляры, а знак ^ означает отсутствие указанного множителя.] Координаты многочлена f(x) относительно стандартного базиса - это его коэффициенты;

относительно базиса Тейлора - это строка [относительно базиса Лагранжа - это строка (f(c1), . . . , f(cn+1)).] 5. Вещественное линейное пространство C имеет стандартный базис (1, i). 7. Основные теоремы о системах линейных уравнений 10. Исследование системы линейных уравнений. Пусть задана система линейных уравнений: Ax = b, где A- основная матрица, x- столбец переменных, b - столбец свободных членов. С помощью элементарных преобразований строк в