Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 7

  • Просмотров 2575
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

и размерность векторного пространства 10. Линейные комбинации и линейные оболочки векторов. Выражение вида a1e1 + . . . + anen, где ai - числа, ei - векторы из пространства V, называется линейной комбинацией векторов ei; числа ai называются коэффициентами линейной комбинации. Определение. Линейной оболочкой системы векторов E = (e1, . . . , en) называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы; обозначение L(E). Таким

образом, L(E) = Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным подпространством. Говорят, что вектор v линейно выражается через систему E, если v Î L(E). Отметим простейшие свойства линейных оболочек: (а) Если W - подпространство в V, E Í W, то L(E) Í W; (б) Линейная оболочка L(E) совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E; (в) L(E È G) = L(E) + L(G), где сумма подпространств U и W определяется

равенством U + W := { u + w½ u Î U, w Î W }. 20. Линейно независимые системы. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0. Определение. Система векторов называется линейно независимой, если всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля. Заметим, что для доказательства линейной независимости системы достаточно приравнять к

нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов. Кроме того, система векторов является линейно зависимой, если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0. Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства. Лемма 1. Если система E линейно независима, а система EÈs (полученная присоединением вектора s к системе E) линейно

зависима, то s линейно выражается через E. Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости). “Большая“ система линейно зависима, если она линейно выражается через “маленькую“. 30. Базис линейного пространства. Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V (обозначение B(V)), если выполнены условия: (а) E линейно независима; (б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E. Наряду с данным

определением можно привести и другие эквивалентные определения. Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется базисом линейного пространства V. Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E. Заметим, что указанные определения равносильны. 40. Размерность линейного пространства.