Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 4

  • Просмотров 2577
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

нулевые элементы; в) кольцо TNn(A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали. Кольца Mn и TNn являются некоммутативными, в кольце TNn нет единицы. 30. Примеры полей. 1. Числовые поля. Q, R, C, Q[i], Q[ 2. Поля дробно-рациональных функций: Q(x), R(x), C(x). Так, элементами множества R(x) являются всевозможные функции вида f(x), g(x) - многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен g(x) ненулевой. Операции сложения

и умножения дробей обычные. 3. Поле вычетов Zp по простому модулю p. Например, для p=7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z7: 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1. 40. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах. Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства: (а) 0×x = x×0 = 0; (б) правило знаков: x(- y) = (-x)y = -(xy); (в) (дистрибутивность умножения относительно разности)

(x - y)z = xz - yz, x(y - z) = xy - xz; где разность определяется обычным образом x - y := x + (- y). Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = 0×x +0×x, откуда 0×x = 0. Аналогично проверяется и второе равенство x×0 = 0. (б) Имеем: 0 = x×0 = x×(y + (-y)) = x×y +x×(-y), откуда x×(-y) = -(x×y). (в) Имеем: (x - y)z =(x + (- y))z = x×z + (-y)×z = x×z - y×z. ÿ Обозначение. := a×b-1, если a, b - элементы поля, причем b ¹ 0. Теорема. В поле справедливы обычные правила работы с

дробями: (а) основное свойство дроби: ("c¹0) (б) правила сложения дробей: (в) правило умножения дробей: (г)если ab ¹ 0; в частности, справедливо известное правило деления дробей. Доказательство. (а) Действительно, ac)×(bc)-1 = acc-1b = a×b-1 = (б) Имеем: = (a + c)×b-1 = a×b-1 + c×b-1 = И далее на основании уже доказанных свойств получаем Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ 3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n). 10. Полная

мультипликативность. Определение. Числовой (арифметической) функцией называется функция, определенная на множестве Z+ целых положительных чисел и принимающая комплексные значения. Числовая функция q называется вполне мультипликативной, если выполнены условия: (1) ($x) q(x)¹0, (2) для любых взаимно простых чисел x и y q(xy)= q(x) q(y). Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство q(1)=1. В самом деле, q(1)¹0, так как иначе

данная функция q была бы нулевой; q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1. Легко проверить, что каждая из следующих функций q(x)=1, q(x)= x, q(x)= x-1, вполне мультипликативна. Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций. Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией. Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне