Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 3

  • Просмотров 2568
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

простейшие свойства элементов 10. Определение кольца и поля. Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия: а) (A, +) - абелева группа; б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства: (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz. Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем

коммутативна; кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения. Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aÎA называется обратимым, если существует элемент bÎA такой, что ab = ba = 1. Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он

обозначается a-1 и называется элементом обратным к a. Важнейшим типом колец являются поля. Определение. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим. 20. Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов. Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение

понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов. 1. Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами): а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C. б) кольцо Z[i] целых гауссовых чисел вида a + bi, где a, b - целые числа; г) кольцо Z[ действительных чисел вида a + bс целыми a, b. 2. Кольца многочленов

R[x], Q[x], Z[x], C[x] от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами. 3. Кольца последовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо: а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей; б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел; в) кольцо фундаментальных последовательностей; г) кольцо

непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1]. 4. Кольца матриц. Среди разнообразных матричных колец выделим следующие: а) полное матричное кольцо Mn(A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо; б) кольцо Dn(A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только