Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета — страница 10

  • Просмотров 2569
  • Скачиваний 217
  • Размер файла 88
    Кб

(1) можно записать в следующей параметрической форме: z = z0 + a1x1 + a2x2 + . . . + amxm, где z0 - какое-нибудь частное решение системы (1); x1, x2, . . . , xm - ФСР системы (2), a1, a2, . . . , am - действительные параметры; m = n - r(A). 8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу 10. Корни многочлена. Определение. Число c называется корнем многочлена f, если f(c)=0. Другими словами, число c является корнем многочлена f, если a0cn + a1cn-1 + ... + an - 1c + an = 0. Это равенство означает, что

число c является корнем уравнения a0 xn + a1xn-1 + ... + an - 1 x + an = 0, при подстановке вместо x числа c получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(x) = 0 - это одно и то же. Схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число c корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f(c). Если требуется проверить несколько значений c, то для экономии выкладок строят не

три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f = 3x5 - 5x4 - 7x2 + 12 и чисел c = 1,-1,2 составляется таблица 3 -5 0 -7 0 12 1 3 -2 -2 -9 -9 3 -1 3 -8 8 -15 15 -3 2 3 1 2 -3 -6 0 Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f. Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только c = 2 является корнем данного многочлена. 20. Теорема Безу. Теорема Безу. Пусть f -

многочлен, c - некоторое число. 1. f делится на двучлен x - c тогда и только тогда, когда число c является его корнем. 2. Остаток от деления f на x - c равен f(c). Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f c остатком на x - c: f = (x - c)q + r; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x - c, т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в

обоих случаях r на самом деле является числом - нулем или отличным от нуля. Подставив теперь в равенство f = (x - c)q + r значение x = c, мы получим f(с) = (с - c)q(с) + r = 0, так что действительно r = f(c), и первое утверждение доказано. Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f делится на x - c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f делится на x - c" означает то же самое,

что и f(c) = 0. ÿ Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то f = (x - c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить - после понижения степени достаточно решить полученное