"Принцип Максимума" Понтрягина — страница 5

  • Просмотров 14879
  • Скачиваний 1522
  • Размер файла 84
    Кб

параметровy0. Таким образом, общее число неизвестных равно 2n+m+1. Для их определения мы имеем 2п условий (2.5), (2.6) и т условий (2.2). Еще одно условие определяется из следующих соображений. Легко понять, что, в силу линейности функции Н по переменным принцип максимума Понтрягина определяет вектор () с точностью до положительного постоянного множителя. Поэтому если в конкретной задаче удается показать, что  Таким образом, общее число

условий равно 2n+m+1 и совпадает с числом неизвестных параметров, что, в принципе, позволяет определить эти параметры. Изложенные соображения дают возможность в простейших случаях решить задачу оптимального управления в явном виде. Опишем численный метод, основанный на тех же соображениях. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2.8) с краевыми условиями (2.5), (2.6), а также выписанными на основе

(2.2) краевыми условиями Эта задача называется краевой задачей принципа максимума. Задав произвольные начальные условиях(Т),(Т). При этом на каждом шаге численного интегрирования значение  Значения х (Г), Ь: Эта система содержит 2п+т неизвестных а, Ь,и состоит из 2п+т уравнений. Ее решение можно находить известными численными методами, например методом Ньютона. Отметим, что вычисление значений  При реализации на ЭВМ методов

решения задач оптимального управления, основанных на необходимых условиях экстремума, могут встретиться также значительные трудности, вызванные некорректностью постановки исходной и вспомогательных задач и некоторыми особенностями краевой задачи принципа максимума. Это приводит к необходимости применения методов регуляризации, учета специфики конкретной решаемой задачи, ее физического смысла и т. п. Другие численные

методы, не связанные непосредственно с принципом максимума, основаны на редукции исходной задачи к некоторой конечномерной задаче математического программирования. Их называют иногда прямыми методами (впрочем, разделение вычислительных методов на прямые и непрямые довольно условно). Конечномерные аналоги задач оптимального управления имеют особенности, позволяющие эффективно применять некоторые методы нелинейного,

динамического программирования и т. д]. Продемонстрируем пример такого подхода. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления где моменты времени, Т фиксированы. Это задача более общего вида, чем (2.1), ибо в (2.10) U зависит от времени и имеются фазовые ограничения произвольного вида, которые, в частности, могут содержать ограничения на концах траектории вида (2.2). Зафиксируем моменты времени  Положив  Мы получили задачу