"Принцип Максимума" Понтрягина — страница 4

  • Просмотров 14880
  • Скачиваний 1522
  • Размер файла 84
    Кб

определено оптимальное решение Примеры применения принципа максимума. 1. Простейшая задача оптимального быстродействия. Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление -

удовлетворять условию Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные . Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: Начальное положение при t0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован. В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==[-1, 1], f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид Общее

решение сопряженной системы легко выписывается в явном виде   где С, D - постоянные. Очевидно, что максимум функции Н по и U достигается при Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1 . 2.Определить управление u(t) , которое дает минимум интегралу Решение. Введем дополнительную переменную Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение  с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0.

Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x2(T). Построим функцию Гамильтона Запишем сопряженную систему  Запишем  Y1(Т)=0 (т.к. с1=0) Y2(Т)=-1 Из Y2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=-aY1x1+Y1u-0,5x12-0,5u2 . По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и Y1 достигает максимума по u :  Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии Y2(Т)=-1, Сведем данную систему к одному уравнению

относительно U. Добавим к этому уравнению граничные условия 2 - (а2+1) =0, к1,2=+(-) Найдем С1 и С2.  С2=-с2е. Тогда  Используя граничные условия найдем С2 Таким образом, определено оптимальное решение О методах решения задач оптимального управления Убедимся вначале, что необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума дают, вообще говоря, достаточную информацию для решения задачи оптимального управления (2.1), (2.2).

Условие максимума (2.4) позволяет, в принципе, найти управление и как функцию параметров х, t,  (2.7) Рассмотрим систему дифференциальных уравнений объединяющюю систему уравнений движения объекта и сопряженную систему. Как известно, общее решение системы (2.8), состоящей из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависит от 2п параметров. Кроме того, система необходимых условий оптимальности содержит т