"Принцип Максимума" Понтрягина

  • Просмотров 12544
  • Скачиваний 1499
  • Размер файла 84
    Кб

Постановка задачи оптимального управления. Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс. От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция И так, пусть

движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений где управлений или просто управление. В уравнении (1.1) векторы t, обозначающей время, причем На управление обычно накладывается условие где U(t) - заданное множество в Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке Т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2). Заметим, что ограничиться рассмотрением

непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д. Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2). Покажем, как при произвольном начальном

положении  (1.3) Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом. Пусть функция и имеет скачки в точкахх, определенное на всем отрезке [to, Предполагая, что она имеет решение на отрезке [ Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [to. Т],

то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению и. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению и, существует и единственно при произвольном начальном положении Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на