Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи — страница 4

  • Просмотров 2745
  • Скачиваний 420
  • Размер файла 85
    Кб

сигналов. Пред­полагая, что выполняется условие (3.28), будем рассматривать неотрицательную функцию как плотность распределения вероятностей p(случайной величины. Так как модуль спектра произвольного вещественного сигнала является четной функцией частоты (см. § 1.2, свойство 1), т. е. то среднее значение этой случайной величины равно нулю: а ее дисперсия 3.23 Положительную величину назовем эффективной шириной спектра сигнала

y(t),0≤t≤T, и поставим вопрос о минимизации , или, что эквивалентно, минимизации в качестве дополнительного условия примем равенство (3.28), которое отражает известное свойство интег­рала от плотности распределения вероятностей (он равен единице). В дальнейшем, однако, будет удобнее использовать эквивалентное (3.28) равенство (3.31). Здесь уместно напомнить, что дисперсия характеризует степень сосредоточенности плотности p(Чем

меньше дисперсия, тем более «узким» является график функции p(. В принципе эта функция в пределе при переходит в 5-функцию (для сигналов y(t) конечной продол­жительности последнее невозможно). Это обстоятельство и обо­сновывает применение теоретико-вероятностного критерия — дисперсии к оценке ширины полосы частот, занимаемой сигналом y(t). Выражение (3.32) преобразуем таким образом, чтобы пред­ставить его как функционал от y(t). Для

этого проведем следующие вспомогательные рассуждения, относящиеся к фор­муле обратного преобразования Фурье: (3.33) Продифференцируем обе части равенства (3.33) по t: (3.34) Применим теперь теорему Рэлея—Парсеваля к сигналу y’(t),0≤t≤T,. С учетом (3.34) получим (3.35) Сравнив равенства (3.32) и (3.35), запишем Для минимизации функционала (3.36) при ограничении (3.31) составим вспомогательный функционал (3.37) Сделаем упрощающее предположение (оно

облегчит, как мы увидим, проверку достаточных условий минимизации): импульс y(t) обладает четной симметрией относительно середины отрезка [О, T] — точки t=T/2. Тогда задачу минимизации функционала (3.37) можно заменить задачей минимизации функционала при условии (3.39) Правый конец отрезка [О, Т/2 ] будем считать свободным, т. е. предполагать, что у{Т/2) может принимать любые зна­чения. Что касается левого края интервала — точки t = 0 (равно как

и симметричной относительно центра точки t=T), то здесь определенно можно сказать, что y(0)=0, (3.40) хотя в самой постановке задачи нет никаких указаний отно­сительно поведения y(t) на концах. Однако одно важное обстоятельство с необходимостью приводит к условию (3.40). Дело в том, что для сходимости интеграла а значит, и существования конечной величины (см. (3.32)) требуется, чтобы функция приy(t), , имеет разрывы, его спектр убывает на