Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи — страница 3

  • Просмотров 2746
  • Скачиваний 420
  • Размер файла 85
    Кб

конечной продолжительности, обладающих мини­мально возможной полосой частот [15]. Сказанное, однако, нуждается в некотором разъяснении. Обозначим интересующий нас сигнал-переносчик длительности Т через y(t),0≤t≤T Тогда его спектр (3.26) Преобразование Фурье сигнала конечной продолжитель­ности (3.26) определяет спектр Y(ω), который является функцией комплексного переменного ω =плоскости целыми). Известно, что целые функции

могут обращаться в 0 лишь в изолированных точках и никогда на множествах точек, у которых, как говорят математики, «мера больше нуля». Примером таких множеств могут служить отрезок действи­тельной или мнимой оси комплексной плоскости, круг или совокупность фигур на этой плоскости, действительная полуось 0 рис.3.11 и т. д. Практически это означает, что спектры сигналов конечной продолжительности обладают бесконечной

протяжен­ностью и, следовательно, принципиально неустранимыми внеполосными излучениями. Спектр прямоугольного импульса y(t)=1,0≤t≤T, является в достаточной степени типичным (рис. 3.11). Другими словами, не существует частотного диапазона, внутри которого поместился бы целиком спектр прямоу­гольного (да и любого другого) импульса. Вместе с тем ясно, что внеполосные излучения в зависимости от формы импульса могут обладать

большей или меньшей интенсивностью. Существуют различные способы оценки внеполосных излучений. Пожалуй, наиболее распространенный из них — энергетический, при котором интенсивность внеполосных излучений характеризуется величиной низкочастотного рабочего диапазона частот критерий (за­пишем в виде (3.27) Задаче минимизации величины посвящена значительная литература [26]. Отметим, что для минимизации отношения (3.27) переходят

обычно к иной, эквивалентной, задаче. Полагая (3.28) решают вопрос о максимизации энергии импульса y(t) в ра­бочей полосе частот (3.29) Напомним, что в силу теоремы Рэлея Парсеваля спра­ведливо следующее равенство для энергии сигнала: 3.30 поэтому условие (3.28) эквивалентно следующему: 3.31 Вариационную задачу максимизации (3.29) при условии (3.31) сводят к решению так называемого интегрального уравнения [22] относительно неизвестной функции y{t).

Изложение достигнутых здесь интересных и важных ре­зультатов требует, однако, использования достаточно сложного математического аппарата. В связи с этим используем другой подход к минимизации внеполосных излучений, для чего введем понятие об эффективной ширине спектра, аналогичное дисперсии распределения вероятностей. Попы­таемся перенести характеристики законов распределения ве­роятностей случайных величин на спектры