Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках — страница 9

  • Просмотров 999
  • Скачиваний 5
  • Размер файла 748
    Кб

уравнения (7) могут иметь одно решение если U(Фi)= Ф2 , так как dU(Ф;са)/dФ= dФ2 /dФ=2Ф=0 Ф=0; уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если U(Фi ;с)= Ф4+cФ2, c < 0 , так как dU(Ф;са)/dФ=d(Ф4+cФ2) /dФ=4Ф3+2сФ=0  три решения. Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Фi (са) потенциальной функции U(Фi;са), изменяющийся при изменении управляющих параметров са . Переменные состояния, от которых зависит функция U(Фi ; са) по существу

являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13]. Обобщенная сила, действующая на систему, по­ведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую

систему ко­ординат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F= - gradU / 0 (рис. 5.)). U(x) grad U(x0)/ 0 x0 Рис.5. Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y0)b помощью гладкой замены координат в точке х0, в которой градиент не равен нулю. Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна

гладкая (т. е. имеющая произ­водные любого порядка) замена координат: у1=у1(х1,х2,…,хn), y2=у2(х1,х2,…,хn), …………………… yn=уn(х1,х2,…,хn), в результате которой в новой системе координат имеем U = y (+const). (8) При исследовании локальных свойств потенциальной функции в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее мож­но также избавиться при помощи соответствующего сдвига на­чала системы координат.) [5.C.14]. Если рассматриваемая физическая система

находится в со­стоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU=0 (но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции). При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Uij= d2U/dxi дхj. Однако, если detUi,/ 0 то теорема Морса, позволяет провести гладкую замену переменных, такую, что потенциальная функция может быть представлена квадратичной формой V=hi yi2 (9)

Где hi- собственные значения матрицы устойчивости Vij , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с yi’= hi 1 / 2yi квадратичная форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V=-y’i2-…-y’i+12+…+y’n2=Min(y’). (10) Функция Min(y’) получила название Морсовское i-седло [5.C.15]. Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0) Точки, в которых gradU=0, являются точками равновесия, или