Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева — страница 2

  • Просмотров 2289
  • Скачиваний 387
  • Размер файла 61
    Кб

коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k=0,1,2,........, n). R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n) xo= a; xn= b; h= (b-a)/n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных

узлах yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем

приближенную квадратурную формулу: Для вычисления коэффициентов Аi заметим что: 1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); 2.для полинома степени n последняя формула точная. Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений: где (k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда Заметим, что при применении этого метода

фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским. Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул : 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников. Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла y-f(x) B y A 0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная

трапеция Рис. 1.3.2. Метод трапеций. Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания

прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций: для метода средних прямоугольников: 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя