Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ... — страница 5

  • Просмотров 3851
  • Скачиваний 250
  • Размер файла 32
    Кб

По-разному группируя множители, получаем два разных разложения! Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разному группируя множители: 25 = (2 + i)2 . (2 - i)2 = (3 + 4i) . (3 - 4i) = = 32 + 42 = (2 + i)(2 - i) . (2 + i)(2 - i) = = 5 . 5 = 52 + 02. Последний пример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a2 + b2 соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a -

bi) на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители: 5746 = 2 . 132 . 17 = (1 + i)(1 - i)(3 + 2i)2(3 - 2i)2(4 + i)(4 - i). Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi. Это нетрудно сделать: a + bi = (1 + i)(3 + 2i)2(4 + i) = -45 + 61i, a - bi = (1 - i)(3 - 2i)2(4 - i) = -45 - 61i. При этом, разумеется, 452 + 612 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и

еще два варианта: a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 - 2i)(4 + i) = 39 + 65i или a + bi = (1 + i)(3 - 2i)2(4 + i) = 75 - 11i. Они приводят к представлениям 392 + 652 = 1521 + 4225 = 5746 и 752 + 112 = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа p1, ..., pr — попарно различные простые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех, которые дают

остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a1 + 1). ... .(ar + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей

равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ Теорема: положительное нечетное число представимо в виде тогда и только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в виде уравнения: N, где N-положит. нечетное число. (1) Число таких представлений равно 2v, где v-число

решений сравнения (2) Доказательство. Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0B<2N, равно v. Далее докажем, что все формы с дискриминантом D=-8 эквивалентны форме {0, 1, 2}. Действительно если у приведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант D=, имеем ac=2, a=1, c=2, b=0. Таким образом, при D=-8,