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GFS im Fach Mathematik Der Grenzwert einer Funktion von Ilya Gufan, 4G5 Selbstverlag 2006 Heilbronn Inhaltsverzeichnis Verlauf der Arbeit 3 Einführung 4 Definition des Grenzwertes 5 Schreibweise 6 Beispiele 6 Eindeutigkeit des Grenzwertes 6 Einseitige Grenzwerte 7 Undendliche Grenzwere 8 Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung 9 Bedeutende Grenzwerte 9 Quellennachweis 10 Verlauf der Arbeit 2.11.2006, von 12:00 bis 20:00 Suche nach dem Material, Erarbeitung des Projekts, Fertigung des Entwurfs. 26.11.2006, von 12:00 bis 14:00 Endkorrektur. Hilfsmittel: PC mit Internetanschluss. Programme: MS Word, Math Type 5.2c, MS Paint, Opera, Advanced Grapher 2.11. Die Hauptquelle dieser Arbeit war die Seite www.college.ru, aus der die Darstellungsweise stammt. Limes einer

Funktion Einführung Das Wort Limes[1] stammt aus dem Lateinischen und bedeuten „Grenzwall“. Es gibt von Römern gebauten Limen auch in Württemberg. Der Ausdruck Limes (Grenzwert) bezeichnet in der Mathematik den Grenzwert einer Folge; den Grenzwert bzw. die Summe einer unendlichen Reihe; den Grenzwert eines Netzes in Topologie; einen Begriff aus der Kategorientheorie; den Grenzwert einer Funktion. Das ist das Thema meiner Arbeit. In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert von Augustin Louis Cauchy und Heinrich Eduard Heine

formalisiert und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Auf diesem Begriff basiert sich die ganze Integral- und Differenzialrechnung. Mithilfe von Limen definiert man die Stetigkeit der Funktion.[2] Der Grenzwert lasst uns mit „unbegrenzt“ großen und kleinen Werten arbeiten und solche Unbestimmtheiten wie und mithilfe von Regel von L'Hospital lösen. Definition des Grenzwertes Definition nach Cauchy. Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss und für jedes ε > 0 gibt es so ein δ > 0, dass für alle x, die der Voraussetzungen |x – a| < δ und x

≠ a entsprechen, gilt: |f (x) – L| < ε. Formelle Schreibweise: Wir können es auch mit den Umgebungen beschreiben: mit ist Erklärung: Bei dem Herannahen des Arguments zu a kann die Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Limes L beliebig klein sein. Hier sprechen wir immer von dem Betrag der jeweiligen Werte, weil das Argument von beiden Seiten zum a Herannahen kann. Definition nach Heine. Die Zahl L bezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle, wenn: diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss und für jede solche Reihenfolge {xn}, dass , die zu a konvergiert, die entsprechende Reihenfolge der Funktionswerte {f(xn)} zu L

konvergiert. Die Definition nach Heine finde ich nicht so geschickt, weil der Begriff „Konvergieren“ definiert werden muss. Also bezieht man sich auf Folgenlehre. Anmerkung 1. Man spricht von Limes an der Stelle a auch dann, wenn die Funktion an der Stelle a definiert ist. Anmerkung 2. Die Definitionen nach A. L. Cauchy und H. E. Heine sind äquivalent. D. h., ein Grenzwert nach Cauchy ist immer ein Grenzwert nach Heine und umgekehrt. Schreibweise   Wenn L Limes (Grenzwert) der Funktion f(x) an der Stelle a ist, so schreibt man: Man liest: Der Grenzwert (Limes) der Funktion f von x bei x gegen a ist gleich L. Beispiele   Bild 1. Bild 2. Eindeutigkeit des Grenzwertes. Hat eine Funktion f(x) einen Grenzwert L an der Stelle a, so ist er der einzige Grenzwert an der