Построение волновых функций для атома и молекулы, используя пакет аналитических вычислений Maple — страница 3

  • Просмотров 2899
  • Скачиваний 448
  • Размер файла 776
    Кб

момента, записанного в сферических координатах. При этом, собственные функции момента оказываются ничем иным, как определенным образом нормированными сферическими функциями. В данном примере мы графически представим собственные функции стационарных состояний и обсудим некоторые их свойства. Итак, нам известно, что полная волновая функция  Угловая часть волновой функции Собственная функция третьей проекции оператора

момента равна > restart: > Phi:=(2*Pi)^(-1/2)*exp(I*m*phi); Заметим сразу, что данные функции являются ортонормированными > int(evalc( Phi* conjugate(Phi) ), phi=0..2*Pi); и, поэтому, мы просто не будем учитывать этот множитель далее при вычислении полной волновой функции. Продолжая изучение угловой части полной собственной функции, введем полиномы Лежандра , используя обобщенную формулу Родрига Ø        P:=(l,x)->if l<>0 then 1/(2^l*l!)*diff((x^2-1)^l,x$l) else 1 fi;

С точки зрения программиста мы написали процедуру с именем P(l,x) , которая зависит от двух аргументов l и x . С другой стороны, мы могли бы использовать встроенную процедуру из пакета  orthopoly   для определения этих полиномов. Для примера, посмотрим, как выглядит один из полиномов Лежандра > collect(P(5,x),x); Присоединенные полиномы Лежандра > P1:=(l,m,x) -> if m=0 then P(l,x) else (1-x^2)^(m/2)*diff(P(l,x),x$m) fi: Введем стандартную замену аргумента >

Theta:=d->sqrt((2*l+1)*(l-m)!/(l+m)!)*subs(d=cos(theta),P1(l,m,d)); Теперь определим сферические гармоники > Y:=d->Theta(d)*Phi: которые являются комплексными функциями. Для примера построим графики вещественной и мнимой частей сферических гармоник > with (plots): Warning, the name changecoords has been redefined > l:=3:m:=1: sphereplot(Re(Y(d)),phi=0..2*Pi,theta=0..Pi,scaling=constrained, grid=[15,100],axes=framed,title=`Вещественная часть при l=3, m=1`); > l:=4: m=0: sphereplot(Im(Y(d)),phi=0..2*Pi,theta=0..Pi,scaling=constrained, grid=[15,100],axes=framed,title=`Мнимая часть при l=4,

m=0`); Вычислим квадрат нормы присоединенной функции Лежандра, т.е. | |^2 , для одной из гармоник, например при > l:=3: m:=1: sphereplot((Theta(d)^2),phi=Pi/2..2*Pi,theta=0..Pi, scaling=constrained,grid=[15,100],axes=framed, title=`Квадрат нормы угловой части при l=3, m=1`); и ее проекцию на плоскость > polarplot(Theta(d)^2,theta=0..2*Pi,scaling=constrained, title=`Проекция на плоскость xy`); Радиальная часть волновой функции Перейдем к построению радиальной части волновой функции Определим полиномы Лаггера по формуле

Родрига > L:=(j,k,x)->if j<>0 then 1/j!*exp(x)/x^k*diff(x^(j+k)*exp(-x),x$j) else 1 fi; Заметим, что мы используем математическое определение (см. справочник Бейтмена и Эрдейи), которое нормировками отличается от определения, данного в книге Ландау и Лифшица. Именно это определение совпадает со встроенной процедурой > simplify(L(3,2,x)); > simplify(L[orthopoly](3,2,x)); Радиальная часть > Ru:=(n,l,x)->x^l*exp(-x/2)*L(n-l-1,2*l+1,x): Посмотрим, как выглядит эта функция при частных значениях