Понятие и классификация систем массового обслуживания — страница 8

  • Просмотров 930
  • Скачиваний 12
  • Размер файла 616
    Кб

каналов (нижние стрелки). Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять и (16) При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них: (17) (18) Формулы (17) и (18) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания. Вероятность отказа в

обслуживании заявки ротк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn. Таким образом, (19) Относительную пропускную способность СМО найдём из (8) и (19): (20) Абсолютную пропускную способность найдём из (9) и (20): Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (10), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок, то можно найти

по формуле: 5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди В СМО с ограниченной очередью число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рисунке 5. S0 Рисунок 5 – Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью Состояния СМО представляются следующим образом: S0

– канал обслуживания свободен, S1 – канал обслуживания занят, но очереди нет, S2 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка, Sk+1 – канал обслуживания занят, в очереди k заявок, Sm+1 – канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты. Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рисунок 5 является частным случаем системы рождения и гибели, представленной на рисунке 2, если в

последней принять и (21) (22) (23) Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (4) и (5) с учётом (21). В результате получим: При р = 1 формулы (22), (23) принимают вид При m = 0 (очереди нет) формулы (22), (23) переходят в формулы (14) и (15) для одноканальной СМО с отказами. Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии Sm+1, т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна:

Относительная пропускная способность СМО равна: Абсолютная пропускная способность равна: Среднее число заявок, стоящих в очереди Lоч, находится по формуле и может быть записано в виде: (24) При формула (24) принимает вид: – среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(10) и может быть записано в виде: (25) При , из (25) получим: Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (12) и (13) соответственно. 5.4