Понятие и классификация систем массового обслуживания — страница 7

  • Просмотров 567
  • Скачиваний 12
  • Размер файла 616
    Кб

коэффициент занятости каналов – среднее время ожидания заявки в очереди – интенсивность ухода заявок из очереди – среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди (11) Здесь – вероятность нахождения в очереди i заявок; – среднее время пребывания заявки с СМО – среднее время пребывания заявки в очереди Для открытых СМО справедливы соотношения: (12)

(13) Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания. Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими. 5. Основные типы открытых систем массового обслуживания 5.1

Одноканальная система массового обслуживания с отказами Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 3. Рисунок 3 – Граф состояний одноканальной СМО Здесь и – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы So обозначает, что канал свободен, а S1 – что канал занят обслуживанием заявки. Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид: где po(t) и p1(t)

– вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей po и p1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим: (14) (15) Вероятность p0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pобс, т. к. канал является свободным, а вероятность р1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки ротк, т. к.

канал занят обслуживанием предыдущей заявки. 5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна , а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 4. Рисунок 4 – Граф состояний многоканальной СМО с отказами Состояние S0 означает, что все каналы свободны, состояние Sk (k = 1, n)

означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k