Парадоксы в математике — страница 8

  • Просмотров 2964
  • Скачиваний 18
  • Размер файла 46
    Кб

существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом. Пусть дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый

жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом

целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов - подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома? Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или церковь. Одноэлементным

подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным - двухквартирные и т.д. Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида - множество домов и

это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим, не будет городом, это будет нечто более общее. Можно, например, назвать эту совокупность городов "страной". Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический

уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере. Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к и обозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементом которого является U. Значит, E={U}. Из этого определения следует: U есть элемент E. Но, поскольку E является одноэлементным множеством, а U - это множество всех