Парадоксы в математике — страница 5

  • Просмотров 2965
  • Скачиваний 18
  • Размер файла 46
    Кб

однако, заметить, что истинность высказывания A1 тоже ниоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А2: "Высказывание A1 истинно" и т.д. до бесконечности. Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка. Впрочем, это не совсем так. На самом деле доказано только то, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинности высказывания A0. Поэтому остается

вопрос: "А нельзя ли это сделать каким-либо другим способом?". И вообще, неужели утверждение об истинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзя сформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений? Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется

при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с "истинностью" арифметических высказываний? Общепринятое определение

истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна (это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма) Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих,

выяснилось, что даже после уточнения понятия "истинности", множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие "истинности" не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку. Таким образом, можно придти к выводу, что в познании существуют два уровня - две иерархические ступени. На первом уровне строится теория,

описывающая некоторую предметную область (в данном случае - арифметику). Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированный предметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследования которой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. В метатеории исследуется, в частности, вопрос об "истинности" высказываний предметной теории. Для этой цели используется