Отношение сознания к материи математика и объективная реальность — страница 6

  • Просмотров 2973
  • Скачиваний 210
  • Размер файла 15
    Кб

также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых. 11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому

совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие

годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа. Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии

обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без

преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий. В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм. Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они

связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с