Основы теоретической робототехники. Теория толерантных пространств (обзор) — страница 5

  • Просмотров 251
  • Скачиваний 3
  • Размер файла 326
    Кб

оптимальна, то ей соответствует минимальная проекция на C по сравнению с любыми другими точками сечения , и, следовательно, необходимое условие оптимальности управления u состоит в том, чтобы p(q0, 0, u) определяло точку на границе множества Rq0. Справедлива следующая теорема. Для каждого состояния q 1-толерантного автомата M и каждого n T множество связно относительно . Пусть S есть некоторое подмножество толерантного пространства X.

Тогда назовём -замыканием подмножества S множество = {x: (x,y)} для некоторого S -внутренностью подмножества S множество int S ={x: (x, y)yS}; -границей подмножества S множество S = \ int S = {x: (x, y) для некоторого yS, но (x, z) для некоторого z  S. Справедлива лемма: X \ = int (X \ S) Справедлива теорема: Пусть M есть 1-толерантный автомат, и пусть u = (u1,…, un )  Xn. Если p(q, u)  , то (qk, ck) = p(q, 0, u1, … , uk)  , 1kn В этой теореме легко узнать

аналог теоремы, на которой базируется принцип максимума Понтрягина в теории оптимальных систем. 3. ЛИНИЯ Ю.А.ШРЕЙДЕРА [7,8] Ядро толерантности есть множество точек, множество толерантных к которым элементов есть постоянное множество. Класс толерантности есть аналог клики на графе. Порожденная классами толерантность в пространстве классов определяется так: два элемента сопряженного пространства классов толерантны порожденной

толерантностью, если соответствующие им классы имеют непустое пересечение. Классы порожденной толерантности называются каноническими признаками. Базис классов толерантности определяется следующим образом. Если х толерантно y, то существует класс толерантности, содержащий оба этих класса, и нельзя из базиса удалить какой-либо класс толерантности без потери первого свойства. Классы образуют сопряженное к исходному

пространство. Два класса считаются толерантными, если их пересечение – непустое множество. Сопряженное к сопряженному пространство вкладывается в исходное толерантное пространство [7,9]. Проиллюстрируем сказанное следующим примером. Возьмём граф, в котором все циклы строятся на основе клик. Нетрудно видеть, что любой неориентированный граф представляет собой толерантное пространство. Проводя итерационно переходы к

сопряжённому пространству к данному графу (сопряжённое пространство, сопряжённое к сопряжённому и т.п.), в конце концов мы получим одну вершину. Это справедливо только для графов указанного типа. Нетрудно видеть, простой цикл размерностью больше 3 при сопряжённом преобразовании сохраняется. Приведённое выше утверждение имеет сложное доказательство, и мы поясним его следующим примером - см. рис.1, а-е. Легко заметить, что через 7