Основы теоретической робототехники. Теория толерантных пространств (обзор) — страница 3

  • Просмотров 247
  • Скачиваний 3
  • Размер файла 326
    Кб

булеане (множестве всех подмножеств) можно ввести толерантность 2х, положив, что А ~ В в 2X в смысле ~T, если xA yB: х ~ у в смысле T, и обратно. Это позволяет перейти от толерантности в множестве точек поля зрения к толерантности в множестве черно-белых изображений. Пример Б. Пусть (X, ) и (Y, ) - два ТП и Y X - совокупность всех отображений X в Y. Тогда толерантность   означает f ~ g, если графики этих отображений в XY толерантны между

собой в смысле толерантности . Это построение позволяет перейти от ТП (X, ) полей зрения и ТП (Y, ) цветов к ТП (Yх, ) цветных изображений. Пример В. Пусть X - множество двумерных проекций среды (местности, трехмерного мира), а  - толерантность, определяемая небольшими параллактическими движениями головы человека. Утверждалось, что это именно та геометрическая структура, которая «используется» в зрительном анализаторе

человека. Толерантное отображение и толерантный гомеоморфизм Именно эти типы соответствий приняты в [2] за базовые. Если (X,) и (Y,) суть ТП и : XY отображение, то  называется толерантным, если из x1 ~ x2 в смысле  следует x1~x2 в смысле . Если справедливо и обратное, то  называют толерантным вложением. Если при этом yY xX (y~x), то  называют толерантным гомеоморфизмом. Композиция двух толерантных отображений или вложений

будет отображением того же типа, однако композиция двух толерантных гомеоморфизмов в общем случае гомеоморфизмом не будет. Этот момент аналогичен тому, что в общем случае отношение и композиция отношений транзитивными быть не обязаны. Ниже приведен пример.  g (X,)  (Y,)  (Z,) Здесь y1 = f(x); z1 = g(y1); y2 ~ y1, но у2 не принадлежит образу f(x). Однако у2 ~ y1 и z3 ~ z2. Теперь, если рассмотреть композицию gf, то «ближайшей» точкой из gf(x) к z3 будет z1,

но z3~z2 в смысле  2. Дальнейшая программа исследований была сформулирована следующим образом [2, с. 143-144]: «если дано ТП (Х,), то мы можем построить симплициальный комплекс, состоящий из всех симплексов, где симплекс - это такое конечное ориентированное подмножество множества X, все точки которого толерантны между собой. Группой гомологии H(X,) будет тогда по определению группа гомологии этого комплекса. Хотелось бы иметь

следующую теорему: Теорема: толерантный гомеоморфизм индуцирует изоморфизмы соответствующих групп гомологии. Однако, это не вполне верно; необходимо сделать некоторые технические уточнения. Все же из правильной формулировки этой теоремы можно сделать вывод о том, что такие свойства, как связность, число дыр и размерность, сохраняются при толерантном гомеоморфизме». Все это направление предполагалось использовать для