Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу — страница 2

  • Просмотров 1707
  • Скачиваний 407
  • Размер файла 83
    Кб

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0, nà¥, обозначают AnàA Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nॠТеорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1 Теорема: Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x’ÌX, x’=x Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax,

xÎD(A) 2) ║A’║=║A║ Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a Определение: Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное. Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0} Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E) Определение: Сопряженный оператор A*: Y*àX* Теорема: Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен. Теорема: A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║ Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y) Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной

последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность. Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность. Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $ конечная e-сеть Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y. Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*) Линейные нормированные пространства 1.       сферическая норма кубическая норма ромбическая норма p>1 2.       Пространства последовательностей p>1 или пространство

ограниченных последовательностей пространство последовательностей, сходящихся к нулю пространство сходящихся последовательностей 3.       Пространства функций пространство непрерывных на функций пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций £p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово) - пополнение £p[a,b] (Гильбертово) Неравенство Гёльдера p,q>0 Неравенство Минковского