Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного

подпространства. Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎEL ║ze║=1 r(ze,L)>1-e Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться. Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве. Определение:

Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением. Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства. Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e Теорема: Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из

нулевого элемента. Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество. Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства. Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy Определение: Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0 Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов Теорема:

Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X. Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c Теорема: A – ограниченный ó "xÎX ║Ax║≤c║x║ Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена. Теорема: {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.