Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам — страница 5

  • Просмотров 9234
  • Скачиваний 588
  • Размер файла 178
    Кб

ответить на него, строят некото­рую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значе­ния этой величины для двух указан­ных объектов не равны, то ответ на за­данный вопрос отрицателен. Пример 7. На доске написано 11 чи­сел - 6 нулей и 5 единиц. Предлагает­ся 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два чис­ла и, если они были одинаковы, допи­сать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу.

Какое число останется на доске? Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, ка­кой она и была вначале. Действитель­но, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций ос­тавшееся число должно быть нечет­ным, т.е. равным 1. Ответ: 1. В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел. Главное в решении задач на инва­риант - придумать сам инвариант. Это

настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подоб­ных задач. Здесь важно не ограничи­вать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необхо­димо сразу определить класс объек­тов, для которых будет определяться наша величина. Пример 8. На

плоскости располо­жено 11 шестеренок (рис. 1), соединен­ных по цепочке. Могут ли все шесте­ренки вращаться одновременно? Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «чет­ные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки

одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др. МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников матема­тики для начальных классов. Магические фигуры делятся на пло­ские и пространственные, так как су­ществуют магические квадраты, тре­угольники, прямоугольники, много­угольники и круги, а также и магиче­ские кубы.

Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чи­сел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сум­му чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магических квадратов. Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на