Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач — страница 2

  • Просмотров 1846
  • Скачиваний 313
  • Размер файла 9
    Кб

матрица A=constant.   При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:   Y(x)=K(х¬0)·Y(0),   где K(х¬0)=K(х4¬x3) · K(х3¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0),   где K(хj¬xi)=exp(A(xi)x),   то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.    2. Новый метод Алексея Юрьевича Виноградова – метод

«дополнительных краевых условий».   Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:   M·Y(0) = M.   В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в

параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор M правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что задача решена, то есть задача сведена к

задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:   | L | | L | |----| ·Y(0) = |----| | M | | M |,   то есть вектор Y(0) находиться из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков L и M.   Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:   N·Y(1) = N,   где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно-независимых параметров

на правом крае, а вектор N неизвестен.   Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:   | R | | R | |----| ·Y(1) = |----| | N | | N |,   Запишем Y(1)=K(1¬0)·Y(0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:   | R | | R | |----| · K(1¬0)·Y(0) = |----| | N | | N |.   Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу   | L |-1 | L | Y(0) = |----| · |----| | M | | M |   и подставим в предыдущую формулу:   | R | | L |-1 | L | | R | |----| · K(1¬0) · |----| · |----| = |----| | N | | M |

| M | | N |.   Таким образом мы получили систему уравнений вида   | L | | R | B · |----| = |----| | M | | N |,   где матрица B известна, а векторы M и N неизвестны.   Разобьём матрицу B на естественные для нашего случая 4 блока B11, B12, B21 и B22 и получим:   | B11 | B12 | | L | | R | |------------------| · |----| = |----| | B21 | B22 | | M | | N |,   откуда можем записать, что   B11· L + B12 · M = R, B21· L + B22 · M = N.   Следовательно, искомый вектор M вычисляется по формуле   M = (B12)обратная · ( R - B11· L).