Моделирование SH-волны — страница 9

  • Просмотров 2724
  • Скачиваний 26
  • Размер файла 903
    Кб

Фурье-преобразования знаковой функции частоты sgn (f), u (t) u (jf), а произведение спектров заменено сверткой Фурье-трансформант сомножителей в соответствии со спектральной теоремой свертывания функций. В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр: . Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование знаковой функции частоты: . Здесь появился знак минус как следствие противоположных знаков ядер

прямого () и обратного () преобразований Фурье. Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением: . Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих критический угол: . В скобках записано обратное Гильберт-преобразование функции u (t), описывающей первичную волну: . Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом падения представляется

взвешенной суммой падающего сигнала u (t) и его Гильберт-трансформанты : . Веса слагаемых - ReA (α) и ImA (α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется по форме и суммарный отраженный сигнал . Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при изменении α от критического угла до теоретически возможного предела 90°. Как отмечалось, при α = А () = 1

= ReA (), ImA () = 0. Отраженная волна имеет те ж форму и амплитуду, что и падающая волна: = . Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения действительная часть спадает до 0, а мнимая -

возрастает до 1: при α = ReA () = 0; ImA () = 1. Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой первичной волны: . Угол находится из условия ReA () = 0: . Синус его равен: и не намного превышает , то есть не намного больше . Дальнейшее увеличение угла падения (α > ) приводит к перемене знака действительной части и к соответствующему инвертированию знака смещения первичной волны в суммарном отраженном сигнале. В пределе, при : ReA; ImA и .

С увеличением угла падения при доля падающей волны с инвертированным знаком смещения в суммарной волне растет, а доля Гильберт-трансформанты уменьшается в пределе, при α = 90°, до 0. При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой же предел был выявлен и в случае (см. раздел 8.3), что вполне естественно. Анализ закритических изменений