Методы и приемы решения задач — страница 8

число, т.е. (1) Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е. (2) Действительно, по условию, (3) полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на : Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое Пример 4. Доказать, что (1) где натуральное число, большее 1. Решение. При n=2 неравенство (1) принимает вид (2) Так как , то справедливо неравенство . (3) Прибавив к каждой части неравенства (3) по Этим

доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо. Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е. (4) Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е. (5) Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, : (6) Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что (7) или, что то же самое, (8) Неравенство (8) равносильно неравенству (9) Если Этим доказано,

что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1. Г) Метод математической индукции в применение к другим задачам. Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим пример.   Пример . На сколько треугольников n-угольник (не обязательно

выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями? Решение. Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум. Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k<n, разбивается непересекающимися диагоналями на k-2 треугольника (независимо от способа разбиения). Рассмотрим одно из разбиений n-угольника А1А2…Аn на

треугольники. Аn А1 А2 Пусть А1Аk – одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А1А2…Аn на k-угольник A1A2…Ak и (n-k+2)-угольник А1АkAk+1…An. В силу сделанного предположения, общее число треугольников разбиения будет равно (k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2; тем самым наше утверждение доказано для всех n.