Методы и приемы решения задач — страница 7

понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом

математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n. С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел. Пример 1 . Докажите , что если от квадрата нечетного числа отнять 1 , то получим число , которое делится на 8 Доказательство. (2n+1)² - 1 : 8 n e N 1.Проверим n=1 (2.1 + 1 )² - 7 : 8 8:8 – истина 2.Предположим , что верно n= k (2k+1)²-1 :8 3. Докажем , что

истинно для n = k +1 (2(k+1)+1)² -1 :8 (2(k+1)+1)² -1 = 4(k+1)(k+2) , k>1 , keN Т.о. 4(k+1)(k+2) :8 Значит (2n + 1 )² - 1 : 8 Ч.Т.Д. Б) Применение метода математической индукции к суммированию рядов.   Пример 1. Доказать формулу , n – натуральное число. Решение. При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено. Предположим, что формула верна при n=k, т.е. Прибавим к обеим частям этого равенства

и преобразуем правую часть. Тогда получим Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана. Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна Решение. Обозначим искомую сумму При n=1 гипотеза верна. Пусть В самом деле, Задача решена. В)

Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств. Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n>1 Решение. Обозначим левую часть неравенства через n=2 неравенство справедливо. Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и Сравнивая и При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому Пример 2. Найти ошибку в рассуждении. Утверждение. При любом натуральном n справедливо

неравенство Доказательство. Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е. (1) Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е. Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) Пример 3. Доказать, что >-1, – натуральное число, большее 1. Решение. При n=2 неравенство справедливо, так как Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное