Методы и приемы решения задач — страница 4

треугольника ABC. Это же верно и для треугольников AKM, MCL, KML, так как они равны треугольнику KBL. P.S. Кроме описанного метода, при решении данной задачи используется известное дополнительное построение – продление отрезка на отрезок, равный самому себе. 7. Метод введения вспомогательного элемента Вспомогательный отрезок Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и

затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение. Задача. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и равны d1 и d2. Решение. Заметим, что диагонали разбивают четырехугольник на треугольники. Удобно

представить его площадь в виде суммы площадей треугольников ABC и ACD (рис. 6). При этом площадь каждого из указанных треугольников будем вычислять по известной формуле S=1/2Ah причем в качестве основания каждого треугольника выберем диагональ d1. В этом случае высоты треугольников будут давать в сумме диагональ d2, а в отдельности будут неизвестны. Для использования в решении формулы (*) введем вспомогательный отрезок – высоту OD

треугольника ACD, длину которого обозначим за x. Тогда длина высоты OB треугольника ABC будет равна (d2 – x). Вычислим теперь площадь четырехугольника ABCD: S=1/2d1x + 1/2d1(d2-x)=1/2d1d2 В результате получили правило: площадь выпуклого четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна их полупроизведению. 8. Метод площадей Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур,

например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей –

из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений). Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами. Суть метода