Методы и приемы решения задач — страница 3

если в многоугольнике острых углов больше трех, то количество тупых углов, смежных к ним (и взятых по одному при вершине) будет так же больше трех. В этом случае сумма всех смежных углов, взятых по одному при вершине, для данного многоугольника будет больше 360°. Известно, что у выпуклого многоугольника данная сумма равна 360°, поэтому данный многоугольник – не выпуклый. 3) Доказав утверждение, сформулированное в пункте 1), мы тем

самым доказали и нашу гипотезу. 5. Метод доказательства через контрпример Характеристика метода. Данный метод применяется в ситуации, когда надо показать ложность утверждения вида A Þ B. (*) В этом случае создается (строится) объект (фигура, формула), который обладает свойствами, входящими в условие A, но не обладает свойствами, присутствующими в заключении B. Существование такого объекта показывает ложность утверждения (*).

Конечно, редко встречаются задачи, где явно требуется доказать ложность некоторого утверждения, но иногда, например после выдвижения гипотезы, легче попытаться опровергнуть ее через контрпример, а потом, в случае неудачи, начать доказывать, чем сразу приступать к доказательству. Задача. Справедливо ли утверждение: если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то это ромб? Решение. Построим контрпример. На рис. 4 изображен

четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, но который не является ромбом. Существование такого объекта доказывает ложность исходного утверждения. 6. Метод вспомогательных фигур Bспомогательный треугольник Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения (продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность получить решение задачи. Обычно

такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами: 1) его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии задачи; 2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для фигур непосредственно заданных условием. Задача. Доказать, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и вдвое меньше их. Решение. Пусть точки K, L, M – середины сторон AB, BC, CA

треугольника ABC соответственно (рис. 5). Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок NL = KL и получим вспомогательный треугольник NLC. Тогда D KBL = D NLC (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому BK = CN и ÐB = Ð4. Следовательно, AK = CN (так как AK = KB и KB = CN) и AK || CN (так как Ð B = Ð4). Поскольку AK = CN и AK || CN, то KN = AC и KN || AC. Поэтому Ð3 = ÐA, Ð1 = ÐC и KL = 0,5AC. Значит, углы треугольника KBL равны углам треугольника ABC, а стороны его вдвое меньше сторон