Методы и приемы решения задач — страница 2

  • Просмотров 2559
  • Скачиваний 204
  • Размер файла 77
    Кб

методом состоит в следующем: 1) Предполагаем, что заключение B не выполняется. 2) Путем логических рассуждений приходим к тому, что условие A не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием. 3) Дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении. 4) Делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение B выполняется (что и требовалось доказать). Задача.

Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике? Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть (например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n-угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее. 1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим

числом углов, например, с четырьмя. 2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или 180°•2. Сумма же остальных n – 4 углов будет меньше, чем 180°•(n – 4). Тогда сумма всех углов n-угольника меньше, чем 180°•2 + 180°•(n – 4) = 180°•(n – 2), а это невозможно для выпуклого n-угольника (сумма его углов равна 180°•(n – 2)). 3) Полученное противоречие кроется в исходном предположении. 4) Наше предположение относительно существования

четырех (а как показывает анализ рассуждений и большего количества) острых углов неверно. Следовательно, максимальное количество острых углов выпуклого n-угольника – три. Доказательство выдвинутой гипотезы завершает решение задачи. 4. Метод доказательства «от противного» – 2 Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A Þ B (*) (A – условие, B – заключение). Идея доказательства опирается на равносильность

теоремы (*) и теоремы противоположной для обратной к данной, т. е. теоремы B Þ Ā (**) Суть доказательства данным методом состоит в следующем: 1) Составляем теорему вида (**). 2) Доказываем составленную теорему. 3) Основываясь на описанной выше равносильности делаем вывод, что теорема (утверждение) (*) верна. Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике? Решение. Легко показать, что три острых

угла в многоугольнике может быть (например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n-угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее. 1) Составим теорему, противоположную для обратной к данной: если в многоугольнике максимальное число острых углов больше трех, то он не выпуклый. 2) Доказательство: