Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач — страница 8
прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c,c,c,c. Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях. Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова. Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае: U∙Y(0) = u, где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8. В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки: U∙Y(0) = u, где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u. Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков]. Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W: W = , где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8. В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края. Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками: W = . Можем записать, что Y(x) = (М)транспонированная = М. Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим: Y(0) = Y(0) ∙с + Y*(0) или Y(0) = М∙с + Y*(0). Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U∙Y(0) = u и получим: U∙ [ М∙с + Y*(0) ]= u. Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как U∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения: U∙ Y*(0) = u. Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор
Похожие работы
- Доклады
- Рефераты
- Рефераты
- Рефераты
- Контрольные