Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач — страница 8

  • Просмотров 2462
  • Скачиваний 422
  • Размер файла 207
    Кб

прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c,c,c,c.   Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются

самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.   Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.   Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае: U∙Y(0) = u,   где

матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.   В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки: U∙Y(0) = u,   где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u.   Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно

посмотреть в [Березин, Жидков].   Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W: W = , где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.   В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне

возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.   Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками: W = .   Можем записать, что Y(x) = (М)транспонированная = М.   Тогда,

подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:   Y(0) = Y(0) ∙с + Y*(0) или Y(0) = М∙с + Y*(0).   Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U∙Y(0) = u и получим:   U∙ [ М∙с + Y*(0) ]= u.   Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как U∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:   U∙ Y*(0) = u.   Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор