Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач

  • Просмотров 1867
  • Скачиваний 421
  • Размер файла 207
    Кб

Методы для решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач.   1. Введение. На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).   Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:   Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x), где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,

Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.   Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами   Краевые условия имеют вид:   U∙Y(0) = u, V∙Y(1) = v, где   Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U

– прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,   Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.   В случае, когда

система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:   Y(x) = e∙ Y(x)  +  e∙ e∙ F(t) dt, где   e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,   где E это единичная матрица.   Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:   K(x←x) = K(x - x) = e.   Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:   Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x)  +  Y*(x←x)  ,

  где Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt   это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.   2. Случай переменных коэффициентов. Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши): e= e∙ e ∙ … ∙ e ∙ e,   K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).   В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x),