Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере) — страница 7

(способностью обмениваться на продукты) в сравнении с банковскими обязательствами. При низкой процентной ставке спекулятивный спрос увеличивается: владельцы желают иметь на руках все больше банкнот, аккумулируя в них свои накопления. Поэтому спекулятивный спрос задается функцией I(r) (рис. 5), такой, что I'(r)<O при г>r и I(r) резко возрастает при r – r (I(r) - при r – r ; владельцы денег не приобретают обязательств банка). Естественно

считать, что r < r, так как в противном случае либо инвестиции равны нулю, и говорить об экономическом- равновесии не приходится, либо функция I(r) не определена, и рассмотрение не имеет смысла. Так как финансовый рынок находится в равновесии, то баланс («закон сохранения») денег дастся уравнением ' Z=tPQ+I(r),…………………………………(10) Где Z – количество денег, являющееся заданным управляющим параметром системы (считается, что деньги

выпускает государство). Из соединения в одно уравнений (1), (6), (9) и (10), возникает математическая модель рыночного равновесия, полученная в предположениях I-VII: Q = F(R), F’(R) = s/P, Q-w (Q) = A(r), (11) Z = tPQ + I(r). Рис.6. Зависимость фондообразующего продукта (S) от числа занятых рабочих (R) В модели-(11) задаются параметры системы s (ставка заработной платы), Z предложение денег) и технический параметр τ Функции F, F', ω, А, I - известные функции своих

аргументов с описанными выше . свойствами. По этим входным данным из модели определяются четыре неизвестные величины: Q (величина выпускаемого продукта), R (уровень занятости ), Р (цена продукта) и r (норма банковского процента). Исключая из (11) величины Р, r, Q, систему уравнений (11) легко свести к одному уравнению (12) где А 1 - функция, обратная функции А. Из свойств строго возрастающей функции А= F(R)-ω(F(R)) (рис. 6) легко установить

качественный вид функции А 1 (в зависимости от R): функция А 1 строго убывает с ростом R. В свою очередь, А служит аргументом монотонной функции I: (13) Свойства функции (13) таковы, что как функция R она имеет вид кривой J{R), изображенной на рис. 7 (для значений R > R функция I не определена), где R - корень уравнения (14) Рассмотрим теперь левую часть уравнения (12). Функция Z-sτF(R)/F'(R) (15) равна Z при R = 0, т.к. F'(R) > 0. Первая производная функции (15) (16) в

силу условия F"(R)< 0 (см. рис. 2). Из (17) тогда следует, что функция (15) строго убывает на промежутке [О, R ]. Введя обозначения (17) (18) запишем уравнение (12) в виде J(R)=X(R). (19) В силу отмеченных выше свойств функций (17) и (18), входящих в левую и правую части уравнения (19), графики функций J(R) и X(R) имеют вид кривых, изображенных на рис. 7. Рис. 7. Определение равновесного состояния R в условиях совершенной конкуренции. Следовательно, модель Кейнса (11)