Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере) — страница 2

относительно значения p . Тогда (1) Предположим, что работодатели изменяют зарплату также пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения n ,т. е. (2) Дифференцируя равенство (1) по t, получим d N/dt2 = a dP/dl. Из этого равенства в силу (2) следует d N/dt -= -a a (N - n ), откуда (3) Общее решение уравнения (3), имеет вид (4) где C и С - произвольные постоянные. Из (1) в силу (4) получаем (5) Умножим уравнения (4), (5) соответственно на и ,

возведем затем в квадрат левые и правые части получившихся равенств. После сложения левых и правых частей будем иметь (P-P )2+ (N-No) 2=const>0. (6) Рассматривая значения переменных N, Р как координаты точки на плоскости, можно геометрически представить состояние рынка посредством точки M(N,P). Эту точку в теории дифференциальных уравнений называют фазовой точкой, а плоскость ONP, на которой интерпретируется решение (6), - фазовой плоскостью.

Решение (3), (4) представляет собой некоторый закон движения точки M(N,P) на фазовой плоскости. Из графика кривой (6) видно (рис. 1), что при различных значениях const мы будем получать различные эллипсы с центром в точке (n , P ), отвечающие соответствующим начальным условиям N и Р. Рис 1. Соотношение между зарплатой (Р) и числом работников (N) при нарушении равновесия. Точка M(N,P), находящаяся на эллипсе, опишет за конечное время замкнутую кривую и

за время t=2 / возвратится в свое начальное положение, возобновив то же самое движение. Следовательно, имеется периодичность с периодом 2 / . Из уравнения (6) видно (см. также рис. 1), что в некоторые моменты времени t, когда N = N (т. е. когда число занятых становится равным равновесному значению), имеем Р>Р , т.е. зарплата превышает равновесную, а при Р = p получаем N > n , т. е. число занятых больше равновесного. В эти моменты фонд заработной

платы, равный PN, превышает равновесное значение PoNo или меньше его). Но в среднем за период колебаний величина PN , равна PoNo . Замечание. Построенная модель основана на правдоподобных представлениях о характере взаимодействия работодателя и наемных рабочих. 2. Равновесие в краткосрочном периоде, в условиях совершенной конкуренции Любой участник рыночного экономического процесса действует в соответствии со своими

индивидуальными интересами (извлечение прибыли, улучшение условий труда, минимизация риска, экономия ресурсов и т. д.). Миллионы потребителей принимают самостоятельные решения, какие товары и в каком количестве покупать, а огромное число предпринимателей самостоятельно решают, что и как производить. Координацию всех независимо принимаемых решений осуществляет рыночный механизм, важную роль в котором играет конкуренция. Она