Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса — страница 9

  • Просмотров 2339
  • Скачиваний 385
  • Размер файла 336
    Кб

интенсивности с частотой w0 – u. Если f(w) — функция формы, то h (u) = f(w0 + u)— четная функция u. Поскольку моменты кривой пропорциональны про­изводным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины w в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается c¢¢(w)/w, так же как и

c¢¢(w). Тогда, поскольку f(w) — нормированная функция формы, (13) может быть переписано в виде f(w) = A∫ G(t) cos wt dt, (IV.26) где постоянная A определяется из условия нормировки f(w), а опреде­ленная ранее четная функция G (t) равна Sp{Mx(t)Mx}. Обратно G(t) = 2/(pA)∫ f(w) cos wt dw, (IV.27) Согласно вышеизложенному, в выражении Mx(t) = еiHtMxе–iHt. следует вместо H = H0+H1 подставить H = H0+H¢1 что значи­тельно упрощает вычисления. Поскольку H0 и H¢1 коммутируют, можно

записать exp{i(H0+H¢1)t} = exp(iH0t) exp(iH¢1t). Учитывая, что зеемановский гамильтониан ħH0 равен ħw0Iz функцию G (t) можно переписать в виде (IV.28) Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому (IV.28a) В этом выражении оператор exp(iw0Izt) определяет поворот на угол w0t вокруг оси z, и, следовательно, можно записать (29) Легко видеть, что второй член в (29) равен нулю, так как поворот спинов на 180°, например вокруг

оси ох, не изменяет H¢1 и Mx но преоб­разует Mу в – My. Заменяя в (27) G (t) на G1(t)cosw0t, где G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx} называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение h (u) = f(w0 + u), получаем Заменяя нижний предел на – ¥, что допустимо для узких линий, найдем Поскольку h (и) является четной функцией, второй интеграл равен нулю и G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx} (30) Различные моменты кривой распределения h (и) относительно резонансной

частоты w =w0 определяются выражением Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой (31) Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G1 (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от H¢1 и Mx . Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных

состояний и могут быть вычислены, напри­мер, в представлении, где значения mj = Ijz отдельных спинов (поэтому представление называется mj-представлением) являются хорошими кван­товыми числами. Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний | n > полного гамильтониана. Из опре­деления (30) функции G1(t) вытекает, что значение ее р-й произ­водной в момент t = 0 определяется выражением (IV.32) Формула (32)